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5 Lehrinhalte des VCLab

5.1 Einleitung und Strukturierung der VCLab-Umgebung

Nach der Vorstellung und Diskussion der für das VCLab entwickelten Software werden in diesem Kapitel einige, kleinere Lehreinheiten exemplarisch vorgestellt. Die angegebenen Beispiele dienen dazu, die grundsätzliche Eignung des VCLab zur Vermittlung von regelungstechnischem Wissen nachzuweisen.

Die WWW-Struktur des VCLab ist hierarchisch aufgebaut. Die benötigte Software und die entwickelten Lehrinhalte sind voneinander getrennt angeordnet, siehe dazu Bild 5.1. In den Verzeichnissen " install/" und "software/" befinden sich die zur Installation der Software benötigten Dateien und Beschreibungen. In " icons/" sind häufig benötigte Bilder und Pictogramme abgelegt. Das HotEqn-Applet befindet sich in einem separaten Verzeichnis, da alle verwendeten Gleichungen von diesem Applet dargestellt werden. Über die Angabe von " codebase="..."" wird dazu in allen HTML-Dateien, die HotEqn benutzen, das Verzeichnis des Applets angegeben.

Bild 5.1: Verzeichnisstruktur der VCLab-Lehrumgebung. Grau: Lehrinhalte. Weiß: unterstützende Dokumentation und Software.

Im Verzeichnis "demo/" befinden sich zwei komplexe Beispiele zum VCLab, die in den Kapiteln 5.2 und 5.3 besprochen werden. In dem Verzeichnis "Rt/" sind alle weiteren regelungstechnischen Lehreinheiten gespeichert. Das Verzeichnis "assist/" enthält eine Vielzahl von Verfahren und Methoden auf der Grundlage der "Control Toolbox" von MATLAB. Einige Übersichtsseiten und ein Index erleichtern die Navigation.

5.2 Beispiel: Bode-Diagramm

Bild 5.2 zeigt eine Bode-Diagramm-Anwendung für ein vorgegebenes zeitinvariantes, lineares System. Die Anwendung wurde mit den drei grundlegenden Elementen des VCLabs realisiert. Im oberen Teil des Bildes befindet sich das Ausgabefenster des MATLAB-Plugins. In diesem Fenster werden alle Workspaceausgaben von MATLAB dargestellt, soweit sie vom MATLAB-Plugin hervorgerufen wurden. Die ersten beiden abgebildeten Zeilen geben an, daß die Datei "system1.m" vom Plugin geladen wurde und nach einem Verzeichniswechsel in dem Verzeichnis "c:\Mueller\VCLab\DEMO" ausgeführt wurde.

Bild 5.2: Bode-Diagramm Simulation: Bildschirmabdruck direkt nach dem Initialisieren der Plugins und Java-Applets.

Die Gleichungen (1), (2), (3) und (4) beschreiben ein lineares zeitinvariantes System zweiter Ordnung in einer Zustandsraumdarstellung. Nach einem Klick mit der linken Maustaste auf die Gleichungen (5) und (6) werden die Matrizen A, B, C und D durch ihre numerischen Werte aus den Gleichungen (1), (2), (3) und (4) ersetzt. In Bild 5.4 sind die daraus resultierenden Gleichungen (5) und (6) abgebildet.

Der Push-Button "Bode plot" startet die Berechnung des Bode-Diagramms zu dem angegebenen System und veranlaßt das ClipBoard-Plugin, die berechnete Grafik darzustellen.


<html>
<head>
<title>Bode Plot</title>
</head>
<body>


<a href="../main.html"
target="main">[VCLab Main Page]</a>
<hr noshade>
<h2>Bode plot for LTI system</h2>
<embed src=system1.m name="matlab" width=500 height=100><p>
<embed type=image/x-emf width=300 height=330
name="plot" align=right>

The following <a href="LTI_system.html">LTI
system</a> is given <br>

<applet code=HotEqn.class  height=50  width=100  
 codebase="../HotEqn/"
     name="gl1" align=middle MAYSCRIPT>
<param  name="LeftSide"    value="A"> 
<param  name="RightSide"   value="\left\[\array{1 & 1 \\ 0 & 1 }\right\]">
<param  name="engGetFull"  value="A">
</applet> (1),<br>

.... Gleichungen (2), (3) und (4) ...

Hence <br>
<applet code=HotEqn.class height=50 width=150 codebase="../HotEqn/"
        name="gl5" 
        align=middle MAYSCRIPT>
<param  name="LeftSide"    value="\frac{dx}{dt}">
<param  name="RightSide"   value="Ax + Bu">
<param  name="prev0"       value="gl1">
<param  name="prev1"       value="gl2">
</applet>
(5)<br>

... Gleichung (5) ...

<center><form>
<input type="button" value="Bode plot"
onClick="document.matlab.engEvalString('bode(A,B,C,D)');
         document.matlab.engEvalString('print -dmeta');
         document.plot.showClipBrd();">
</form></center>
<hr noshade>
<a href="../main.html"
target="main">[VCLab Main Page]</a>
</body>
</html>

Bild 5.3: HTML-Codierung des Beispiels zum Bode-Diagramm.

Bild 5.4: Abbildung des berechneten Bode-Diagramms und der veränderten Gleichungen (5) und (6).

Das Beispiel besitzt einige zusätzliche Möglichkeiten zur Interaktion mit dem Lernenden. Die Gleichungen (1), (2), (3) und (4) können durch einen Klick mit der linken Maustaste die Matrizen A, B, C und D über das MATLAB-Plugin aus dem Workspace von MATLAB laden. Dadurch kann die vorhandene Berechnung eines Bode-Diagramms auch für Systeme mit anderen numerischen Werten benutzt werden. Dabei könnte auf einer anderen HTML-Seite die Eingabe eines linearen zeitinvarianten Systems beliebiger Ordnung erfolgen, von dem anschließend das Bode-Diagramm berechnet werden soll. Die vier HotEqn-Applets wurden durch die Angabe von <param name="engGetFull" value="A"> entsprechend parametriert.

5.3 Beispiel: Wurzelortskurve

Diese Lehreinheit beschäftigt sich mit der Theorie und Konstruktion von Wurzelortskurven. Sie ist auf zwei HTML-Dateien aufgeteilt. Die erste Datei vermittelt die zur Konstruktion notwendigen theoretischen Überlegungen. Dabei werden mit Inline-Bildern und HotEqn-Applets alle relevanten mathematischen und regelungstechnischen Problemstellungen erläutert. Bild 5.5 zeigt die ersten einleitenden Abschnitte der Lehreinheit.

Bild 5.5: Bildschirmabdruck: Einführung in die Theorie der Wurzelortskurven.

Nach der Bearbeitung der theoretischen Grundlagen zur Konstruktion von Wurzelortskurven besteht die Möglichkeit, interaktiv Wurzelortskurven von Systemen mit einer variablen Anzahl von Polen, Polpaaren, Nullstellen und Nullstellenpaaren zu erzeugen. Je nach der Anzahl der gewählten Pole und Nullstellen werden einige der Slider-Applets freigeschaltet (Bild 5.6). Die Slider-Applets ermöglichen eine Verschiebung der Pole und Nullstellen innerhalb der s-Ebene. Der Lernende kann damit sowohl die Anzahl, als auch die Lage der Pole und Nullstellen variieren. Durch die Interaktion mit der Lehreinheit erfährt er unmittelbar, wie z.B. die Abfolge der Pole und Nullstellen auf der reellen Achse oder das Hinzufügen zusätzlicher Pole und Nullstellen den Verlauf der Wurzelortskurven beeinflussen.

Bild 5.6: Erzeugung verschiedener Wurzelortskurven: Das Slider-Applet kommuniziert mit dem MATLAB- und dem ClipBoard-Plugin.

Die Berechnung wird mit einem verstecktem MATLAB-Plugin, dem ClipBoard-Plugin, 10 Slider-Applets, Select-Listen und einigen JavaScript-Funktionen realisiert.

5.4 Beispiel: Klassischer Reglerentwurf

Das vorliegende Beispiel "Klassischer Reglerentwurf" ist eine Übertragung der Übungsaufgabe 3 "Klassischer Reglerentwurf mit MATLAB" aus der Vorlesung "Rechnergestützte Analyse und Synthese von Regelungssystemen". Mit Hilfe von Bode-Diagrammen, Wurzelortskurven und Sprungantworten wird ein Regler für die in Bild 5.7 abgebildete Regelstrecke entworfen. Für die Bedienung werden ausschließlich die Formularelemente von HTML benutzt.

Bild 5.7: Betrachtete Regelstrecke mit einem PI-Regler.

Nach der Darstellung der betrachteten Regelstrecke in Bild 5.7 erscheint im weiteren Verlauf der Lehreinheit die zunächst leere Abbildung zur Berechnung einer Wurzelortskurve (Bild 5.8). Nach der Aktivierung des Push-Buttons "Bode plot" wird von dem ClipBoard-Plugin die in MATLAB berechnete Wurzelortskurve dargestellt (Bild 5.9).

Bild 5.8: Bildschirmdarstellung zur Berechnung einer Wurzelortskurve vor der Aktivierung.

Bild 5.9: Bildschirmdarstellung zur Berechnung einer Wurzelortskurve nach der Aktivierung.

Bei der Betrachtung der Wurzelortskurve kann der Lernende bereits erkennen, daß die Regelstrecke in Abhängigkeit der Verstärkung K instabil werden kann, da Äste der Wurzelortskurve in der rechten s-Halbebene liegen. In der nachfolgenden Unteraufgabe wird der Lernende aufgefordert, einen Bereich für die Verstärkung K zu wählen, innerhalb dessen die Regelstrecke stabil bleibt. Nach der Betätigung des Push-Buttons "Find KKrit" (Bild 5.10) erfolgt im Bildschirmbereich der Unteraufgabe 3.2 die Ausgabe der Wurzelortskurve mit den beschränkten Verstärkungen (Bild 5.11).

Bild 5.10: Eingabe der kritischen Verstärkung des PI-Reglers.

Der Lernende kann nun durch Variation der oberen und unteren Grenze für die kritischen Verstärkungen das gesuchte stabile Intervall finden. Zur Eingrenzung der Intervallgrenzen muß dazu die Wurzelortskurvendarstellung analysiert werden. Ist das gesuchte Intervall gefunden, wird durch die Ausgabe von "true" statt "false" im Ergebnisfeld die erfolgreiche Eingabe bestätigt.

Bild 5.11: Geschätzte kritische Verstärkung des PI-Reglers und die dazugehörige Wurzelortskurve.

In der Unteraufgabe 3.4 (Bild 5.12) wird zunächst das Bode-Diagramm der betrachteten Regelstrecke berechnet. Der Lernende kann mit den Push-Buttons "<", "<<", ">>" und ">" einen Balken verschieben und eine der beiden kritischen Verstärkungen markieren. Die Ausgabe der Balken erfolgt gleichzeitig in der Phasengangdarstellung und im Amplitudengang. Die gefundenen Verstärkungen können aus der Darstellung des Amplitudengangs geschätzt werden.

Bild 5.12: Bode-Diagramm des offenen Regelkreises. Balken zur Markierung der kritischen Verstärkungen.

Nach der Schätzung der kritischen Verstärkungen in den Unteraufgaben 3.3 und 3.4 erfolgt in der Aufgabe 3.5 die exakte Berechnung des Intervall durch das VCLab. Damit wird dem Lernenden ein Vergleich ermöglicht.

Bild 5.13: Exakte Berechnung der kritischen Verstärkungen durch das VCLab.

Nach der Stabilitätsanalyse des eingesetzten PI-Reglers an der betrachteten Regelstrecke wird im nächsten Aufgabenpunkt die Sprungantwort der Regelstrecke bei unterschiedlichen Verstärkungen K berechnet. Der Lernende kann beliebige Werte für K auswählen. Wenn Werte außerhalb des stabilen Intervalls gewählt werden, ist der Regelkreis instabil.

Bild 5.14: Die Sprungantwort des Regelkreises. Die Zeitskalierung und die Verstärkung K des PI-Reglers können variiert werden.

Die letzte Unteraufgabe verfolgt das Ziel, zum Regel einen Kompensator hinzufügen, so daß für die Ausregelzeit t2% <15s gilt. Der Entwurf ist ein zweistufiger Vorgang. Zunächst wählt der Lernende die Position eines zusätzlichen Nullstellenpaares in der s-Ebene aus. Dabei sollen die Nullstellen günstig plaziert werden, damit die in die rechte s-Halbebene hineinragenden Äste der Wurzelortskurve in die linke s-Halbebene hineingebogen werden. Neben der Darstellung einer um die beiden Nullstellen erweiterten Wurzelortskurve wird der Stabiliätsbereich der Regelstrecke ausgegeben. Im zweiten Entwurfsschritt wählt der Lernende aus dem Stabilitätsintervall einen beliebigen Wert für K und überprüft, ob die angestrebte Ausregelzeit t2% erreicht wird.

Dieses interaktive Entwurfsbeispiel ermöglicht dem Lernenden anhand der Lage der Pole und Nullstellen in der s-Ebene auf das Verhalten der betrachteten Regelstrecke zu schließen. Durch die Analyse der generierten Wurzelortskurven und Sprungantworten macht der Lernende intuitiv Erfahrungen mit dem Reglerentwurf. Eine interessante Erweiterung zu diesem Entwurf wäre, ein zweites Entwurfsverfahren mittels Bode-Diagramm zu entwickeln, bei dem der Kompensator entsprechend des Amplituden- und Phasengangs dimensioniert werden müßte.

Bild 5.15: Reglerentwurf mit einem Kompensator. Angabe eines zusätzlichen Nullstellenpaares. Berechnung der Sprungantwort. Begrenzung der Ausregelzeit auf 15s.

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